Vor zwei oder drei Jahren kam bei einem Grillabend die Frage auf, wie oft vier Personen mit einem Getränk miteinander anstoßen, wenn jeder mit jedem genau einmal anstößt. Das ließ sich recht leicht durch Ausprobieren herausfinden: sechsmal war das Ergebnis. Ich dachte mir gleich, dass mit Sicherheit eine mathematische Formel dahintersteht, hatte aber keinerlei Ahnung, welche das sein könnte.
Ein Jahr lang war die Geschichte vergessen, im darauf folgenden Sommer kamen wir in derselben Runde irgendwann wieder auf das Thema. Dieses Mal ließ es mir keine Ruhe, und während sich die anderen weiter unterhielten, stellte ich mir virtuelle Personen vor, die miteinander anstoßen. So kam ich auf eine eigene Berechnungsmethode: Man ziehe von den vorhandenen Personen eine ab und addiere ab der verbleibenden Anzahl alle Ziffern miteinander. Ein Beispiel: 6 Personen sind anwesend. Man zieht eine Person ab und erhält 5. Dann addiert man von 5 an abwärts alle verbleibenden Ziffern miteinander (5 + 4 + 3 + 2 + 1) und erhält 15. So lässt sich das mit jeder beliebigen Anzahl von Personen durchspielen.
Gestern stieß ich per Zufall auf die Lösung. Ich weiß ja schon lange Zeit, dass meine Arbeit schlau(er) macht, und da ich gerade ein Mathematikbuch für die 11. Klasse bearbeite, fand ich dort diese sehr anschaulich beschriebene Erklärung:
Der Begriff der Folge
Bei einem Treffen von sieben Personen gibt jeder jedem die Hand. Wie viele Händedrücke werden ausgetauscht?
Am einfachsten ist diese Frage zu beantworten, wenn wir uns vorstellen, dass die sieben nacheinander eintreffen. Solange nur einer da ist, gibt es überhaupt keinen Händedruck.
Der zweite, der eintrifft, gibt dem ersten die Hand, unter zwei Personen wird also ein Händedruck ausgetauscht. Wenn der dritte dazukommt, begrüßt er die anderen beiden.
Es kommen also zwei Händedrücke hinzu; insgesamt haben die drei sich dreimal die Hand gegeben. Der vierte, der hinzukommt, begrüßt die anderen drei. Unter vier Personen gibt es also 6 Händedrücke usw.
Wir können in einer Tabelle der Anzahl der Personen die Anzahl der Händedrücke gegenüberstellen.
Personen: Händedrücke
1: 0
2: 0 + 1 = 1
3: 1 + 2 = 3
4: 3 + 3 = 6
5: 6 + 4 = 10
6: 10 + 5 = 15
7: 15 + 6 = 21
Wenn bei sieben Personen jeder jedem die Hand gibt, werden insgesamt 21 Händedrücke ausgetauscht.
Es ist kein Problem, diese Tabelle fortzusetzen: 8 Personen geben sich 28-mal die Hand, 9 Personen 36-mal, 10 Personen 45-mal usw.